ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น (Probability)

ความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็น คือ ค่าที่ใช้ประเมินสถานการณ์ที่ยังไม่เกิดขึ้น โดยพิจารณาว่า เมื่อถึงเวลาเกิดเหตุการณ์แล้ว จะเกิดในลักษณะใด มีโอกาสที่จะเกิดมากน้อยเพียงใด การหาค่าความน่าจะเป็น จะต้องหาจากการทดลองสุ่มเท่านั้น แซมเปิลสเปซ (Sample Space ) แซมเปิลสเปซ คือเซตของเหตุการณ์ทั้งหมดจากการทดลอง (Universal Set) เช่น การโยนลูกเต๋าถ้าต้องการดูว่าหน้าอะไรจะขึ้นมาจะได้ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } แซมเปิลพ้อยท์ (Sample Point) แซมเปิลพ้อยท์ (Sample Point) คือ สมาชิกของแซมเปิลสเปซ (Sample Space ) เช่น S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } จะได้แซมเปิลพ้อยท์คือ 1 ถึง 6 เหตุการณ์ (Event) เหตุการณ์ คือ เซตที่เป็นสับเซตของ Sample Space เป็นเหตุการณ์ที่เราสนใจ จากการทดลองสุ่ม การทดลองสุ่ม (Random Experiment)  การทดลองสุ่มคือ การกระทำที่เราทราบว่าผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นมีอะไรบ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าจะเกิดผลอะไรจากผลทั้งหมดที่เป็นไปได้เหล่านั้น การหาค่าความน่าจะเป็น  ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ ที่ซึ่ง มีเหตุการณ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้คือ n(S) และ E เป็นเหตุการณ์ที่เราสนใจ ซึ่ง E ฬS ให้ P(E) เป็นค่าน่าจะเป็นที่จะเกิดโอกาส E

การทดลองสุ่ม คือการทดลองที่ผลลัพธ์อาจจะเกิดขึ้นได้แตกต่างกันหลายอย่าง
แต่เราไม่ทราบว่าผลลัพธ์ใดจะเกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 4.1
1. การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรายังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย

2. การทอดลูกเต๋าลงในถ้วย ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรายังไม่ทราบว่าลูกเต๋า
หงายหน้าอะไร

3. การหยิบไพ่หนึ่งใบจากไพ่สำรับหนึ่ง ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรายังไม่ทราบว่าจะได้ไพ่ใด

4. การวิ่งแข่งขัน ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะแต่ละคนมีโอกาสชนะแต่เราไม่ทราบว่าเป็นใคร

แซมเปิลสเปซ(Sample Space) คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม และเป็นสิ่งที่เราสนใจ เรานิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ จากความหมายของแซมเปิลสเปซ แสดงว่า ในการทดลองหรือการกระทำใด ๆ ก็ตาม  ผลลัพธ์ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นได้ต้องเป็นสมาชิกในแซมเปิลสเปซทั้งสิ้น ตัวอย่างที่ 4.2การหาแซมเปิลสเปซในการโดยเหรียญ 1 เหรียญ ถ้าเราสนใจหน้าที่หงายขึ้น ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ หัว หรือ ก้อย ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้ คือ S={หัว, ก้อย} ตัวอย่างที่ 4.3 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถ้าเราสนใจแต้ม ของลูกเต๋าที่หงายขึ้น ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6  ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้คือS = {1, 2,3,4,5,6} ตัวอย่างที่ 4.4จากการทดลองสุ่มโดยการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูก  1. จงหาแซมเปิลสเปซของแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น 2. จงหาแซมเปิลสเปซของผลรวมของแต้มบนลูกเต๋า วิธีทำ 1. เนื่องจากโจทย์สนใจแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น  ดังนั้นเราต้องเขียนแต้มของลูกเต๋าที่มีโอกาสที่จะหงายขึ้นมาทั้งหมด และเพื่อความสะดวกให้ (a,b) แทนผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น โดยที่ a แทนแต้มที่หงายขึ้นของลูกเต๋าลูกแรก b แทนแต้มที่หงายขึ้นของลูกเต๋าลูกที่สอง  ดังนั้นแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มคือ S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 2.เนื่องจากโจทย์สนใจผลรวมของแต้มบนลูกเต๋า  ดังนั้นเราต้องเขียนผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้ทั้งหมด  จะได้แซมเปิลสเปซของผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าทั้ง 2 ลูก คือ  {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} ตัวอย่างที่ 4.5ในกล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีขาว 1 ลูก ถ้าเราหยิบลูกบอลออกจากกล่องมา 1 ลูก โดยวิธีสุ่ม  1. จงหาแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่จะเกิดขึ้น 2. จงหาแซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบออกมาได้ วิธีทำ 1.เนื่องจากโจทย์สนใจสีของลูกบอลที่จะหยิบมาได้  ดังนั้นแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่หยิบได้คือ S={สีแดง,สีขาว} 2.เนื่องจากโจทย์สนใจลูกบอลที่จะหยิบมาได้ ซึ่งมีทั้งหมด 3 ลูก  สมมติให้เป็น แดง1 แดง2 ขาว1  ดังนั้นแซมเปลิสเปซของลูกบอลที่หยิบออกมาคือ  S = {แดง1,แดง2, ขาว1} เหตุการณ์(event) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ เรานิยมใช้ A, B, C, D, E, ... เป็นสัญลักษณ์แทน เหตุการณ์  ข้อควรสนใจ เนื่องจากเหตุการณ์เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ ดังนั้น เซตว่าง ก็คือ เหตุการณ์ ๆ หนึ่ง เช่นเดียวกัน ตัวอย่างที่ 4.6 มีบัตรอยู่ 10 ใบซึ่งแต่ละใบมีหมายเลข 1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10 ตามลำดับ สุ่มหยิบบัตรมา 2 ใบพร้อมกันจงหาเหตุการณ์ที่ผลรวมของหมายเลขบนบัตรทั้ง 2 ใบเป็นจำนวนคู่ วิธีทำ คำว่าสุ่มหยิบบัตรมา 2 ใบ หมายถึง หยิบโดยไม่ดู หรือไม่เห็นว่าแต่ละใบหมายเลขอะไร ซึ่งลักษณะการหยิบโดยสุ่มแบบนี้ เราถือว่าเป็นการทดลองสุ่มเพราะเราไม่ทราบผลลัพธ์ล่วงหน้า เนื่องจากโจทย์ต้องการให้หาผลรวมของหมายเลขบนบัตร  ดังนั้นแซมเปิลสเปซก็ต้องประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นผลรวมของหมายเลขบนบัตรทั้ง 2 ใบ ที่สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งหมด นักเรียนจะพบว่าผลรวมของหมายเลขจะมีค่าน้อยที่สุดเมื่อได้บัตร หมายเลข 1 และ 2 ซึ่งผลรวมเท่ากับ 3 และผลรวมจะมีค่ามากที่สุดเมื่อได้บัตรหมายเลข 9 และ 10 ซึ่งผลรวมเท่ากับ 19 แสดงว่าแซมเปิลสเปซ S จะมีลักษณะดังนี้  S = {3, 4, 5, 6,…,17, 18, 19}  สมมติให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ผลรวมของหมายเลขบนบัตรทั้ง 2 ใบเป็นจำนวนคู่ A = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} ตัวอย่างที่ 4.7 ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก หยิบลูกบอลออกจากถุง 2 ลูก จงหา 1.แซมเปิลสเปซของสีของลูกบอล และเหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสีขาว 2.แซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบมาได้ และเหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลเป็นสีขาว 1 ลูก  สีแดง 1 ลูก วิธีทำ 1.เนื่องจากเราสนใจเกี่ยวกับสีของลูกบอล และลูกบอลมีอยู่สองสีคือสีขาวและสีแดง ดังนั้น แซมเปิลสเปซ S={ขาว, แดง} สมมติให้ B เป็นเหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสีขาว ดังนั้น B = {ขาว} 2.เนื่องจากเราสนใจแซมเปิลสเปซของลูกบอลแต่ละลูกที่ถูกหยิบขึ้นมา  ดังนั้นแซมเปิลสเปซ S คือ  S={ข1ข2,ข1ข3,ข1ด1,ข1ด2,ข2ด3,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2,ด1ด2} ให้ C เป็นเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์เป็นลูกบอลสีขาว 1 ลูก และ สีแดง 1 ลูก  ดังนั้น เหตุการณ์ C คือ  C = {ข1ด1,ข1ด2,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2} หมายเหตุ ข แทน ขาว และ ด แทน แดง ข้อควรสนใจ 1. เนื่องจากแซมเปิลสเปซ S เป็นเซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมด จากการทดลองสุ่ม ดังนั้น ถ้าเปรียบเทียบกับเรื่องเซตแล้ว  แซมเปิลสเปซ S คือ เอกภพสัมพัทธ์ นั่นเอง 2. เนื่องจากเหตุการณ์เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S  ดังนั้น ถ้าเปรียบกับเรื่องเซตแล้ว เหตุการณ์ ก็คือ เซต A, B, C, ... ซึ่งทุกเซตต่างก็เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์นั้นเอง 3. เราสามารถใช้ความรู้เรื่องเซตมาช่วยในการพิจารณาเกี่ยวกับลักษณะของ เหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ดังนี้ ให้ E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ E1U E2= หมายถึงเหตุการณ์ที่อยู่ใน E1หรือใน E2  E1 E2หมายถึง เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่อยู่ใน E1 และอยู่ใน E2 E1-E2หมายถึง เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์ ที่อยู่ใน E1 แต่ไม่อยู่ใน E2 E1' หมายถึง เหตุการณ์ที่ผลลัพธ์อยู่ในแซมเปิลสเปซ S แต่ไม่อยู่ใน E1 ตัวอย่างที่ 4.3 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถ้าเราสนใจแต้ม ของลูกเต๋าที่หงายขึ้น ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6  ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้คือS = {1, 2,3,4,5,6} ทฤษฎีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น 6. ทฤษฎีเบื้องต้นของความน่าจะเป็น 1.       การทดลองสุ่ม การทดลองสุ่ม คือ การทดลองที่ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นได้ และถึงแม้จะทราบว่าอาจจะเกิดอะไรได้บ้าง แต่ก็ไม่สามารถควบคุมได้ เช่น การโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 1 ครั้ง เป็นการทดลองสุ่ม เนื่องจาก ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ล่วงหน้าได้ ถึงแม้ว่าจะทราบว่าผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ คือ หัว หรือ ก้อย แต่ไม่สามารถควบคุมได้ 2.      แซมเปิลสเปซ ข้อกำหนด แซมเปิลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม และจะถูกเขียนแทนด้วย S ข้อสังเกต 1. แซมเปิลสเปซเป็นเซตเสมอ 2. ในการทดลองสุ่มเดียวกัน อาจจะมีแซมเปิลสเปวได้หลายแบบ ซึ่งขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่เราสนใจว่าต้องการหรือสนใจสิ่งใด ตัวอย่างที่ 1 ในการโยนลูกเต๋าสองลูก ผลลัพธ์ที่จะเป็นไปได้จะเป็นคู่อันดับต่างไ ของลูกเต๋าลูกที่หนึ่งกับลูกเต๋าลูกที่สอง โดยที่ 1. ผลลัพธ์ที่ได้มาจากการโยนลูกเต๋าลูกที่หนึ่ง เป็นสมาชิกตัวหน้า 2. ผลลัพธ์ที่ได้มาจากการโยนลูกเต๋าลูกที่สอง เป็นสมาชิกตัวหลัง วิธีทำ   S =     { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } ตัวอย่างที่ 2 หยิบไพ่ 1 ใบ จากไพ่สำรับหนึ่ง เป็นการทดลองสุ่ม ถ้า 1. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มที่จะได้ และให้ S1 แทนแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มนี้ แล้วจงหา S1 2. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ ชุดของไพ่ที่ได้ และให้ S2 แทนแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มนี้ แล้วจงหา S2 วิธีทำ 1. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ แต้มที่จะได้ S1 = {   (Aโพดำ), (Aโพแดง), (Aข้าวหลามตัด), (Aดอกจิก), (2โพดำ), (2โพแดง), (2ข้าวหลามตัด), (2ดอกจิก), (3โพดำ), (3โพแดง), (3ข้าวหลามตัด), (3ดอกจิก), (4โพดำ), (4โพแดง), (4ข้าวหลามตัด), (4ดอกจิก), (5โพดำ), (5โพแดง), (5ข้าวหลามตัด), (5ดอกจิก), (6โพดำ), (6โพแดง), (6ข้าวหลามตัด), (6ดอกจิก), (7โพดำ), (7โพแดง), (7ข้าวหลามตัด), (7ดอกจิก), (8โพดำ), (8โพแดง), (8ข้าวหลามตัด), (8ดอกจิก), (9โพดำ), (9โพแดง), (9ข้าวหลามตัด), (9ดอกจิก), (10โพดำ), (10โพแดง), (10ข้าวหลามตัด), (10ดอกจิก), (Jโพดำ), (Jโพแดง), (Jข้าวหลามตัด), (Jดอกจิก), (Qโพดำ), (Qโพแดง), (Qข้าวหลามตัด), (Qดอกจิก), (Kโพดำ), (Kโพแดง), (Kข้าวหลามตัด), (Kดอกจิก)} 2. ผลลัพธ์ที่สนใจ คือ ชุดของไพ่ที่ได้ S2 = { โพดำ, โพแดง, ข้าวหลามตัด, ดอกจิก } 3.      เหตุการณ์ ข้อกำหนด เหตุการณ์ คือ สับเซตของแซมเปิลสเปซ ซึ่งจะถูกเขียนแทนด้วยอักษรตัวใหญ่ A, B, C, D, E,… ข้อสังเกต 1. เหตุการณ์เป็นเซตเสมอ 2. เนื่องจากจำนวนสับเซตของ S ทั้งหมดมีได้เท่ากับ 2n(S) ตัวอย่างที่ 3 ในการโยนลูกเต๋าลูกเดียวหนึ่งครั้ง ผลลัพธ์ที่สนใจคือแต้มที่ได้ จงหา 1. แซมเปิลสเปซ 2. เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคี่ 3. เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคู่ 4. เหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว 5. เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นอย่างน้อย 3 6. เหตุการณ์ที่ได้แต้มต่ำกว่า 4 วิธีทำ 1. ถ้า S เป็นแซมเปิลสเปซ แล้ว S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 2. ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคี่ แล้ว E1 = {1, 3, 5 } 3. ถ้า E2 เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นเป็นเลขคู่ แล้ว E2 = { 2, 4, 6 } 4. ถ้า E3 เหตุการณ์ที่ได้แต้มซึ่งหารด้วย 3 ลงตัว แล้ว E3 = { 3, 6 } 5. ถ้า E4 เหตุการณ์ที่ได้แต้มขึ้นอย่างน้อย 3 แล้ว E4 ={ 3, 4, 5, 6 } 6. ถ้า E5 เหตุการณ์ที่ได้แต้มต่ำกว่า 4 แล้ว E5 = { 1, 2, 3 } 4.      การกระทำระหว่างเหตุการณ์ เหตุการณ์สามารถกระทำกันได้ด้วยตัว กระทำของเซต คือ ยูเนียน (Union), อินเตอร์เซกชัน (Intersection), ผลต่าง (Difference) และคอมพลีเมนต์ (Complement) แล้วทำให้เกิดเหตุการณ์ใหม่ ดังนี้ 4.1 ยูเนียนของเหตุกาณ์ (Union of events) ข้อกำหนด      ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์แล้ว E1 Union E2 คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกของเหตุการณ์ E1 หรือเหตุการณ์ของ E2 หรือทั้งสองเหตุการณ์ ตัวอย่างที่ 4 ในการทอดลูกเต๋าพร้อมกันสองลูก ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มหารด้วย 6 ลงตัว จงหายูเนียนของเหตุการณ์ E1 และ E2 วิธีทำ  เราจะพบว่า แซมเปิลสเปซที่เป็นเซตที่ประกอบด้วยผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าทั้งสองที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมด คือ S = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } จากโจทย์ จะได้ E1 = { 3 } และ                        E2 = { 6, 12 } ดังนั้น                      E1 Union E2 = { 3, 6, 12 } 4.2 อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ (Intersection of events) ข้อกำหนด       ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์แล้ว E1 Intersection E2 คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในทั้งสองเหตุการณ์ ตัวอย่างที่ 5 ในการทอดลูกเต๋าสองลูกพร้อมกันหนึ่งครั้ง ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่จะได้แต้มเหมือนกัน และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ผลบวกของแต้มมากกว่าหรือเท่ากับ 10 จงหาอินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ E1 และ E2 วิธีทำ  จากโจทย์ เราจะได้ S= { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } E1 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) } และ              E2 = { (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) } ดังนั้น            E1 Intersection E2 = { (5, 5), 6, 6) } 4.3 ผลต่างของเหตุการณ์ (Difference of events) ข้อกำหนด      ถ้า E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์แล้ว E1 – E2 คือ เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเหตุการณ์ E1 แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ E2 ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E1 = { 1, 3, 5 } และ                       E2 = { 2, 3, 4, 5, 6 } จงหา             1.  E1 – E2                 2. E2 – E1 วิธีทำ 1. E1 – E2 = { 1, 3, 5 } –  { 2, 3, 4, 5, 6 } = { 1 } 2. E2 – E1 = { 2, 3, 4, 5, 6 } – { 1, 3, 5 } = { 2, 4, 6 } 4.4 คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ (Complement of events) ข้อกำหนด      ถ้า S เป็นแซมเปิลสเปซ และ E เป็นเหตุการณ์ที่เป็นสับเซตของ S แล้ว E’ คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในแซมเปิลสเปซ S แต่ไม่อยู่ในเหตุการณ์ E ตัวอย่างที่ 7 เลือกจำนวนเต็มหนึ่งจำนวน จากจำนวน 1, 2, 3,…, 10 ถ้า E1 เป็นเหตุการณ์ที่ได้จำนวนที่หารด้วย 4 ลงตัว และ E2 เป็นเหตุการณ์ที่ได้จำนวนที่ถอดรากที่สองแล้วได้จำนวนเต็มแล้ว จงหา E1’ และ E2’ วิธีทำ            E1 = { 4, 8 } E2 = { 4, 9 } ดังนั้น E1’ = { 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10 } และ E2’ = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10}